Ovládněte vzorec pro objem: Od krychle po kouli raz dva!

Co je objem?

Když potřebujeme spočítat objem nějakého předmětu, vlastně zjišťujeme, kolik místa v prostoru zabírá. Používáme k tomu písmeno V a měříme to v metrech krychlových, což píšeme jako m³. Je to docela jednoduché - třeba taková krychle, co má stranu dlouhou jeden metr, má objem přesně 1 m³. Vzorec pro objem se mění podle toho, jaký tvar vlastně počítáme.

U krychle je to úplně nejjednodušší - stačí vzít délku hrany, kterou označujeme písmenkem a, a vynásobit ji třikrát sama sebou. Tedy V = a³. Kvádr už je trochu složitější - tam musíme mezi sebou vynásobit všechny tři hrany, takže V = a × b × c. No a u koule používáme vzoreček V = (4/3) × π × r³, kde to r znamená poloměr koule a π je známé číslo pí, které je zhruba 3,14159.

Základní jednotky objemu

Když měříme, kolik místa nějaká věc zabírá, mluvíme o jejím objemu. Je to důležité jak doma, tak ve vědeckém světě. Pro správný výpočet objemu máme různé vzorečky. Základem je metr krychlový, což si můžeme představit jako kostku, která má všechny strany dlouhé jeden metr. Často ale počítáme s menšími jednotkami - třeba s decimetrem krychlovým, centimetrem krychlovým nebo milimetrem krychlovým. Mezi těmito jednotkami platí jednoduchá pravidla: jeden metr krychlový má tisíc decimetrů krychlových, v jednom decimetru krychlovém je tisíc centimetrů krychlových a jeden centimetr krychlový obsahuje tisíc milimetrů krychlových. Pro tekutiny běžně používáme litry - jeden litr je stejný jako jeden decimetr krychlový. Když chceme spočítat objem, záleží na tvaru věci. Třeba u kostky násobíme délku hrany třikrát sama sebou, u kvádru zase násobíme délku, šířku a výšku.

Těleso	Vzorec pro objem	Příklad
Krychle	a³ (a = délka hrany)	a = 5 cm, Objem = 5³ = 125 cm³
Kvádr	a * b * c (a = délka, b = šířka, c = výška)	a = 4 cm, b = 3 cm, c = 2 cm, Objem = 4 * 3 * 2 = 24 cm³
Koule	(4/3) * π * r³ (r = poloměr)	r = 7 cm, Objem ≈ (4/3) * 3.14 * 7³ ≈ 1436 cm³

Vzorce pro běžné tvary

Každý z nás se občas dostane do situace, kdy potřebuje spočítat objem nějakého předmětu. Třeba když plánujeme napustit bazén nebo připravujeme materiál na novou zahradní boudu - právě tady nám vzorec pro objem přijde vhod. Způsob výpočtu se samozřejmě mění podle toho, jaký tvar vlastně měříme. U základních tvarů je to docela snadné - třeba u krychle stačí vzít délku hrany a dát ji na třetí. Kvádr není o moc složitější, tam jen vynásobíme délku, šířku a výšku. No a pak jsou tu složitější tvary jako jehlan nebo kužel - tam už musíme počítat i s výškou nebo třeba s poloměrem podstavy, takže vzorečky jsou trochu náročnější.

Objem krychle a kvádru

Každý den se setkáváme s předměty ve tvaru krychle nebo kvádru - jsou to nejběžnější geometrická tělesa kolem nás. Když potřebujeme zjistit, kolik místa takové těleso zabere, mluvíme o jeho objemu. U krychle je to jednoduché - protože má všechny hrany stejně dlouhé, stačí vzít délku jedné hrany a vynásobit ji sama sebou třikrát. Vzorec pro objem krychle zapíšeme jako V = a³, kde V znamená objem a a je délka hrany. Kvádr je trochu složitější, protože může mít každou hranu jinou. Proto musíme mezi sebou vynásobit všechny tři rozměry - délku, šířku a výšku. Vzorec pro objem kvádru tedy vypadá takto: V = a · b · c, přičemž V je objem, a je délka, b šířka a c výška kvádru. Tyto vzorce se hodí znát - používáme je třeba při stavbě, když něco balíme nebo když potřebujeme vědět, kolik se toho vejde do nějaké krabice nebo nádoby.

Objem koule a válce

Když se rozhlédneme kolem sebe, často narazíme na koule a válce - jsou to běžná geometrická tělesa, která potkáváme každý den. V praxi často potřebujeme spočítat jejich objem, a k tomu nám slouží jednoduché matematické vzorce. U koule používáme vzorec 4/3πr³, přičemž r znamená její poloměr. Válec je ještě jednodušší - stačí vzít plochu podstavy a vynásobit ji výškou. Vzorec pro objem válce je tedy πr²v, kde r je poloměr podstavy a v představuje výšku válce. Díky těmto vzorcům můžeme rychle zjistit objem těchto těles, což se hodí nejen technikům a architektům, ale i fyzikům.

Objem kužele a jehlanu

Když potřebujeme spočítat objem kužele nebo jehlanu, postupujeme podobně. Jehlan si můžeme představit jako prostorový útvar s jakoukoliv podstavou. Pro výpočet jeho objemu stačí vzít obsah podstavy a vynásobit ho třetinou výšky. Objem jehlanu tedy vyjádříme jako V = (1/3) × Sp × v, přičemž Sp znamená obsah podstavy a v je výška jehlanu. Kužel vlastně není nic jiného než jehlan s kruhovou podstavou. Proto i jeho objem počítáme podobně: V = (1/3) × π × r² × v. Tady π představuje Ludolfovo číslo, r je poloměr podstavy a v značí výšku kužele. Hlavní je si zapamatovat, že pro výpočet objemu obou těles potřebujeme vždycky znát obsah podstavy a jejich výšku.

Praktické využití vzorců

Když se řekne vzorec pro objem, spousta lidí si vybaví nudné hodiny matematiky. Ale ve skutečnosti jde o něco, co používáme častěji, než si myslíme. Vezměte si třeba situaci, kdy plánujete na zahradě vybudovat jezírko. To se bez vzorečku pro výpočet objemu kvádru prostě neobejdete - musíte přece vědět, kolik zeminy budete muset odstranit. A pak přijde na řadu vzoreček pro objem válce, abyste věděli, kolik vody do něj napustíte. Stejně tak v kuchyni - než začnete vařit velkou porci polévky, podíváte se na objem hrnce v litrech. A to nemluvím o průmyslu! Tam se bez přesných výpočtů objemu neobejde vůbec nic - od miniaturních součástek v hodinkách až po gigantické zásobníky v továrnách. Ať už jste kuchař, stavař nebo průmyslový inženýr, znalost objemových vzorců vám usnadní práci i běžný život.

Vzorec pro objem je jako klíč, který odemyká tajemství prostoru, ukazující nám, kolik "věcí" se vejde do zdánlivě prázdného tvaru.

Božena Koubková

Tipy pro snadný výpočet

Jak spočítat objem? Je to vlastně docela jednoduché! Když si osvojíte základní pravidla a vzorečky, zvládnete to levou zadní. Pro různé tvary těles použijeme různé vzorce pro objem. Třeba u krychle stačí vzít délku jedné hrany a vynásobit ji sama sebou třikrát (a na třetí). Kvádr je podobný - tam násobíme všechny tři rozměry mezi sebou (délku, šířku a výšku). U válce to chce trochu víc matematiky - použijeme vzoreček pí krát r na druhou krát výška, kde r je poloměr podstavy. Nejde ale jen o slepé dosazování do vzorců. Je fajn si představit, co vlastně počítáme - třeba jako když odhadujete objem krabice nebo sklenice. To vám pomůže vybrat správný postup. A nezapomeňte na důležitý detail - vždycky připište jednotky jako centimetry nebo metry krychlové. Když si to párkrát vyzkoušíte, půjde vám to samo od ruky!